ما هي الأعداد الأولية أو الـ Prime Numbers ؟ هذا ما سنتعرف عليه من خلال هذا المقال، حيث يعد
العدد الأولى هو ما أكبر من 1، وهو عدد صحيح موجب يقبل القسمة على عددين هما: العدد نفسه،
والواحد دون باق، فهذا العدد غير خاضع للتجزئة، وعن ما هي الأعداد الأولية نجيب على ذلك فيما يلي.

ما هي الأعداد الأولية ؟

الأعداد الأولية هي أعداد لا حدود لنهايتها، أي أنها تصل إلى ما لا نهاية أو ما يعرف بـ Infinite Numbers
وهذا ما يفرقها عن الأعداد المركبة أو غير الأولية، حيث تكون هذه الأعداد قابلة للتجزئة، وعدد قواسمها
أكبر من اثنين. إذن فالأعداد الأولية هي الأعداد الطبيعية الأكبر من 1، والتي لا تقبل القسمة إلا على نفسها
وعلى 1، ويمكننا التفريق بين العدد الأولي والعدد غير الأولي بعمل مثال بسيط:

• رقم 6 يقبل القسمة على 1/ 2/ 3/ 6 = إذن 6 هو عدد غير أولي.
• رقم 7 لا يقبل القسمة إلا على 7/1 = إذن 7 هو عدد أولي.

أول من استخدام الأعداد الأولية

تعرفنا على ما هي الأعداد الأولية ولكن من أول من قام باستخدامها؟،حيث استخدم الإنسان الأعداد
الأولية منذ 20000 عام؛ لاحتوائها على 4 توائم للأعداد الأولية وهي:
19/ 17/ 13/ 11، ولكن قد يكون ذلم محض صدفة، وذلك وفقاً لما ذكره موقع الباحثون المصريون.
وهناك دليل أكثر إقناعاً أن المصريين القدماء هم أول من استخدم الأعداد الأولية في حسابهم لما عرف
بـ (الكسور المصرية)، وذلك منذ 4000 عام.

قيل أنه يحسب لليونانيين القدماء سبق استخدام الأعداد الأولية، باعتبارهم أول من استخدموها بطريقة
مجردة منذ 2500 عام، حيث قام إقليدس، وإراتوستينس تقديمهم للعديد من الإثباتات للأعداد الأولية،
وتعلم الرومان على يد اليونانيين الرياضيات، وقاموا بترجمة ما وصل إليهم من هذا العلم إلى اللغة اللاتينية،
ولكنهم لم يتطوروا في هذا العلم، واكتفوا بنقله، وترجمته فقط.

درس الرياضيون العرب أعمال اليونانيين القدماء، وذلك في العصور الوسطى، ولكن أضاف العرب على
نظام العدد، مما يعود لهم الفضل إلى تسهيل العمل الحسابي فيما بعد، حيث أثبت ابن قرة العلاقة
بين الأعداد الأولية والمتتالية، زادت المحاولات إلى أن توصل “ريمان” إلى فرضية ريمان للأعداد الأولية،
والتي على الرغم من كثرة الأدلة على صحتها إلا أنه لم يستطيع أحد إثباتها.

جدول الأعداد الأولية من 1 إلى 1000

تم اكتشاف أكبر عدد أولى على يد “كيرتس كوبر” أستاذ جامعة ميسوري الأمريكية، حيث استخدم
الحاسب الآلي في ذلك، وهذا العدد يتكون من أكثر من 22 مليون رقم، وتم اكتشاف 5 ملايين رقم
قبله، هذا العدد الذي توصل له كوبر هو العدد رقم 49 في سلسلة أولية ميرسيني، بعد أن تعرفنا على
ما هي الأعداد الأولية نعرض جدول الأعداد الأولية من 1 وحتى 1000:

2	3	5	7	11	13	17	19	23
29	31	37	41	43	47	53	59	61	67
71	73	79	83	89	97	101	103	107	109
113	127	131	137	139	149	151	157	163	167
173	179	181	191	193	197	199	211	223	227
229	233	239	241	251	257	263	269	271	277
281	283	293	307	311	313	317	331	337	347
349	353	359	367	373	379	383	389	397	401
409	419	421	431	433	439	443	449	457	461
463	467	479	487	491	499	503	509	521	523
541	547	557	563	569	571	577	587	593	599
601	607	613	617	619	631	641	643	647	653
659	661	673	677	683	691	701	709	719	727
733	739	743	751	757	761	769	773	787	797
809	811	821	823	827	829	839	853	857	859
863	877	881	883	887	907	911	919	929	937
941	947	953	967	971	977	983	991	997

 

كيفية إثبات أولية العدد

هناك العديد من الاختبارات التي يتم استخدامها لتعيين أولية العدد نعرضها فيما يلي:

• اختبار جبريال إرتوستينس
  مثال: حصر الأعداد الأولية الأقل من 100، وبفرض أن ب = 2 وهو أصغر عدد أولي أقل من 100
  نقوم بحذب ب، وجميع مضاعفاتها وهي (2/ 4/ 6/ 8/.. حتى العدد 100).
  إذن فأول عدد أولي أقل من 100 ولم يحذف هو 3، والعدد الذي يليه هو 5 إذن 5 عدد أولي،
  وبالقيام بنفس الخطوات نصل إلى جميع الأعداد الأولية.
• اختبار ميرسيني
  يفترض ميرسيني أن (م ل = 2ل – 1، حيث ل عدد أولي، و م= 23 X 89 عدد مركب)
  ووضع ميرسيني قيمة ل = 216.091، ولكن هذه الطريقة إلى حد ما طريقة صعبة،
  ومشتتة، وغير موزعة بانتظام.
• اختبار كاوس أو مبرهنة الأعداد الأولية
  وهذا الاختبار يفترض أنه إذا كان س عدد، والأعداد الأولية لا تتجاوز قيمة العدد س،
  إذن فنسبة س إلى الدالة س/لع س تنتهي إلى 1 عندما تنتهي قيمة س إلى مالانهاية.
  ولكن يفتقد هذا الاختبار السهولة والتبسيط.

ويمكننا القول أن الأعداد الأولية الأصغر من 100 هي: (97, 89, 83, 79, 73, 71, 67, 61, 59, 53, 47,
43, 41 ,37, 31 ,29 ,23 ,19 ,17 ,13, 11 ,7 ,5, 3 ,2)، ولكن ما الفرق بالأمثلة بين العدد الأولي والمركب؟

مثال (1) 
الأعداد 5/ 7/ 13/ 29 أعداداً أولية
لأن العدد 5 يقسم على نفسه، وعلى الواحد فقط، ومن ثم فالعدد قواسمه اثنان فقط، والأمر نفس الشئ مع العدد 7 يقبل القسمة على نفسه، وعلى الواحد فقط. وكذلك العدد 13، والعدد 29.

خصائص الأعداد الأولية

تعرفنا ما هي الأعداد الأولية ، حيث تكمن أهمية الأعداد الأولية في استخدامها في تشفير البيانات الألكترونية،
والمعامملات البنكية، بالإضافة إلى تسجيلات الدخول إلى مواقع التواصل الاجتماعي، حيث يتم العلمل على هذه الأعداد
بتشفير المعلومات بشكل أولي، ثم تحويلها إلى رقم كبير ينتج عن ضرب عددين أوليين كبيريين،
ويطلق على هذا الرقم الفتاح أو الرقم السري أو Pass word أو Key word، ومن ثم لا يمكن اختراق
تلك المعلومات إلا بمعرفة هذه العوامل الأولية، ولكن ما هي خصائص الأعداد الأولية؟ هذا ما سنتعرف
عليه فيما يلي:

• يتم توزيع الأعداد الأولية بشكل غير منتظم، والسبب وراء ذلك هو عدم استيعاب العلماء
  إلى الآن طريقة توزيع الأعداد الأولية، فكلما زادات قيمة العدد الأولي زادت الفجوة بينه
  وبين العدد الذي يليه.
• تعد الأعداد الأولية على العكسمن خصائص الأعداد الفردية، والزوجية التي تمتاز بالبساطة
• يعتبر العدد 2 هو أصغر عدد أولي، وهو العدد الأولي الزوجي الوحيد في قائمة الأعداد الأولية.

مبرهنة إقليدس 

إذا كان (أ،ب) عددان صحيحان، وكان (ج) عدداً ثالثاً؛ حيث إنّ (ج) أوليّ،
وكان حاصل ضرب العددين (أ × ب) يقبل القسمة على ج،
فإنّ (أ) أو (ب) يقبلان القسمة على العدد (ج).

ملاحظة

جميع الأعداد الأولية ما عدا (5 ,2) تنتهي بأحد الأعداد (9, 7, 3, 1)؛
لأنّ الأعداد التي تنتهي بـ (8, 6, 4, 2, 0) هي من مضاعفات العدد
اثنين فهي بذلك غير أوليّة، والأعداد التي تنتهي بـ (5, 0) من مضاعفات
العدد خمسة، وهي ليست أوليّ.

العدد غير الأولي أو المركب

قدمنا ما هي الأعداد الأولية والآن نتعرف على العدد غير الأولي والذي يُعرف باسم العدد المركب و المؤلف
Composite Number، وهو عدد صحيح موجب له قواسم بديهية يمكن التعبير عنه بضرب عددين صحيحين
أصغر منه. وكل عدد هو غير أولي إذا قبل القسمة على عدد واحد -مخالف له- على الأقل، ومن ثم فكل
عدد صحيح أكبر من الواحد إما أولي أو مركب، في حين أن كلاً من الصفر والواحد يعتبران لا أوليين ولا مركبيين.

يمكن صياغة العدد غير الأولي في صورة حاصل ضرب عددين أو أكثر، حيث يوجد طريقتان لكتابته:
إما (أXب) أو (أ أس3 X ب تربيع X ج).

مثال 1:
العدد (14) هو عدد مركب؛ لأنه حاصل ضرب عددين صحيحين أصغر منه 
( 2X7 = 14 )

مثال 2:
العدد (21) عدد مركب؛ لأنه مكون من 3 و 7 باعتبارهما قواسم غير بديهية للعدد 21.

وفيما يلي نعرض أهم الأعداد غير الأولية: 

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 100, 102, 104, 105, 106, 108, 110, 111, 112, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 128, 129, 130, 132, 133, 134, 135, 136, 138, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 150.

طريقة تحديد أولية العدد

تعرفنا على ما هي الأعداد الأولية وهناك أكثر من طريقة لتحديدها، ولكن الطريق الأكثر سهولة هي طريقة القسمة المتكررة، والتي تتمثل في قسمة العدد على الأعداد المحصورة بين 2، والجذر التربيعي لعدد معين، فمثلا:

• الأعداد الأولية؛ هي الأعداد التي لها قاسمان فقط، ونعرض مثال مبيط على ذلك:
  3= 3×1
  2= 2×1
  5= 5×1
• الأعداد غير الأولية؛ لها أكثر من قاسمين.
  4= 2×2
  4= 4×1

وهناك طريقة أخرى لتعيين هوية العدد: 

• الأعداد التي لها قاسمان فقط لا غير هي الأولية ومثال على ذلك رقم (3)
  3/ 1 = 3
  3/ 3 = 1
• على العكس من ذلك نجد العدد (4) له أكثر من قاسمين؛ وبالتالي فهو عدد مركب، ليس أولي،
  ومثال على ذلك بوضع الرقم 4 في قسمة مطولة نجد أن له أكثر من قاسمان:
  4/ 1= 4
  4/ 2= 2
  4/ 4 = 1