ما هي الأعداد الأولية وخصائصها وطرق تحديدها ؟

ما هي الأعداد الأولية

أو الـ Prime Numbers ؟ هذا ما سنتعرف عليه من خلال هذا المقال، حيث يعد
العدد الأولى هو ما أكبر من 1، وهو عدد صحيح موجب يقبل القسمة على عددين هما: العدد نفسه،
والواحد دون باق، فهذا العدد غير خاضع للتجزئة، وعن ما هي نجيب على ذلك فيما يلي.

ما هي الأعداد الأولية ؟

الأعداد الأولية هي أعداد لا حدود لنهايتها، أي أنها تصل إلى ما لا نهاية أو ما يعرف بـ Infinite Numbers
وهذا ما يفرقها عن أو غير الأولية، حيث تكون هذه الأعداد قابلة للتجزئة، وعدد قواسمها
أكبر من اثنين. إذن فالأعداد الأولية هي الأعداد الطبيعية الأكبر من 1، والتي لا تقبل القسمة إلا على نفسها
وعلى 1، ويمكننا التفريق بين العدد الأولي والعدد غير الأولي بعمل مثال بسيط:

  • رقم 6 يقبل القسمة على 1/ 2/ 3/ 6 = إذن 6 هو عدد غير أولي.
  • رقم 7 لا يقبل القسمة إلا على 7/1 = إذن 7 هو عدد أولي.

ما هي الأعداد الأولية

تعرفنا على ما هي الأعداد الأولية ولكن من أول من قام باستخدامها؟،حيث استخدم الإنسان الأعداد
الأولية منذ 20000 عام؛ لاحتوائها على 4 توائم للأعداد الأولية وهي:
19/ 17/ 13/ 11، ولكن قد يكون ذلم محض صدفة، وذلك وفقاً لما ذكره موقع الباحثون المصريون.
وهناك دليل أكثر إقناعاً أن المصريين القدماء هم أول من استخدم الأعداد الأولية في حسابهم لما عرف
بـ (الكسور المصرية)، وذلك منذ 4000 عام.

قيل أنه يحسب لليونانيين القدماء سبق استخدام الأعداد الأولية، باعتبارهم أول من استخدموها بطريقة
مجردة منذ 2500 عام، حيث قام إقليدس، وإراتوستينس تقديمهم للعديد من الإثباتات للأعداد الأولية،
وتعلم الرومان على يد اليونانيين الرياضيات، وقاموا بترجمة ما وصل إليهم من هذا العلم إلى اللغة اللاتينية،
ولكنهم لم يتطوروا في هذا العلم، واكتفوا بنقله، وترجمته فقط.

درس الرياضيون العرب أعمال اليونانيين القدماء، وذلك في العصور الوسطى، ولكن أضاف العرب على
نظام العدد، مما يعود لهم الفضل إلى تسهيل العمل الحسابي فيما بعد، حيث أثبت ابن قرة العلاقة
بين الأعداد الأولية والمتتالية، زادت المحاولات إلى أن توصل “ريمان” إلى فرضية ريمان للأعداد الأولية،
والتي على الرغم من كثرة الأدلة على صحتها إلا أنه لم يستطيع أحد إثباتها.

من 1 إلى 1000

تم اكتشاف أكبر عدد أولى على يد “كيرتس كوبر” أستاذ جامعة ميسوري الأمريكية، حيث استخدم
الحاسب الآلي في ذلك، وهذا العدد يتكون من أكثر من 22 مليون رقم، وتم اكتشاف 5 ملايين رقم
قبله، هذا العدد الذي توصل له كوبر هو العدد رقم 49 في سلسلة أولية ميرسيني، بعد أن تعرفنا على
ما هي الأعداد الأولية نعرض جدول الأعداد الأولية من 1 وحتى 1000:

اقرأ أيضا  بالأمثلة والخطوات.. تعرف على الأعداد الأولية وطرق تحديدها
23571113171923
29313741434753596167
717379838997101103107109
113127131137139149151157163167
173179181191193197199211223227
229233239241251257263269271277
281283293307311313317331337347
349353359367373379383389397401
409419421431433439443449457461
463467479487491499503509521523
541547557563569571577587593599
601607613617619631641643647653
659661673677683691701709719727
733739743751757761769773787797
809811821823827829839853857859
863877881883887907911919929937
941947953967971977983991997

 

ما هي الأعداد الأولية

هناك العديد من الاختبارات التي يتم استخدامها لتعيين أولية العدد نعرضها فيما يلي:

  • اختبار جبريال إرتوستينس
    مثال: حصر الأعداد الأولية الأقل من 100، وبفرض أن ب = 2 وهو أصغر عدد أولي أقل من 100
    نقوم بحذب ب، وجميع مضاعفاتها وهي (2/ 4/ 6/ 8/.. حتى العدد 100).
    إذن فأول عدد أولي أقل من 100 ولم يحذف هو 3، والعدد الذي يليه هو 5 إذن 5 عدد أولي،
    وبالقيام بنفس الخطوات نصل إلى جميع الأعداد الأولية.
  • اختبار ميرسيني
    يفترض ميرسيني أن (م ل = 2ل – 1، حيث ل عدد أولي، و م= 23 X 89 عدد مركب)
    ووضع ميرسيني قيمة ل = 216.091، ولكن هذه الطريقة إلى حد ما طريقة صعبة،
    ومشتتة، وغير موزعة بانتظام.
  • اختبار كاوس أو مبرهنة الأعداد الأولية
    وهذا الاختبار يفترض أنه إذا كان س عدد، والأعداد الأولية لا تتجاوز قيمة العدد س،
    إذن فنسبة س إلى الدالة س/لع س تنتهي إلى 1 عندما تنتهي قيمة س إلى مالانهاية.
    ولكن يفتقد هذا الاختبار السهولة والتبسيط.
اقرأ أيضا  بالأمثلة والخطوات.. تعرف على الأعداد الأولية وطرق تحديدها

ويمكننا القول أن الأعداد الأولية الأصغر من 100 هي: (97, 89, 83, 79, 73, 71, 67, 61, 59, 53, 47,
43, 41 ,37, 31 ,29 ,23 ,19 ,17 ,13, 11 ,7 ,5, 3 ,2)، ولكن ما الفرق بالأمثلة بين العدد الأولي والمركب؟

مثال (1) 
الأعداد 5/ 7/ 13/ 29 أعداداً أولية
لأن العدد 5 يقسم على نفسه، وعلى الواحد فقط، ومن ثم فالعدد قواسمه اثنان فقط، والأمر نفس الشئ مع العدد 7 يقبل القسمة على نفسه، وعلى الواحد فقط. وكذلك العدد 13، والعدد 29.

ما هي الأعداد الأولية

تعرفنا ما هي الأعداد الأولية ، حيث تكمن أهمية الأعداد الأولية في استخدامها في تشفير البيانات الألكترونية،
والمعامملات البنكية، بالإضافة إلى تسجيلات الدخول إلى مواقع التواصل الاجتماعي، حيث يتم العلمل على هذه الأعداد
بتشفير المعلومات بشكل أولي، ثم تحويلها إلى رقم كبير ينتج عن ضرب عددين أوليين كبيريين،
ويطلق على هذا الرقم الفتاح أو الرقم السري أو Pass word أو Key word، ومن ثم لا يمكن اختراق
تلك المعلومات إلا بمعرفة هذه العوامل الأولية، ولكن ما هي خصائص الأعداد الأولية؟ هذا ما سنتعرف
عليه فيما يلي:

  • يتم توزيع الأعداد الأولية بشكل غير منتظم، والسبب وراء ذلك هو عدم استيعاب العلماء
    إلى الآن طريقة توزيع الأعداد الأولية، فكلما زادات قيمة العدد الأولي زادت الفجوة بينه
    وبين العدد الذي يليه.
  • تعد الأعداد الأولية على العكسمن خصائص الأعداد الفردية، والزوجية التي تمتاز بالبساطة
  • يعتبر العدد 2 هو أصغر عدد أولي، وهو العدد الأولي الزوجي الوحيد في قائمة الأعداد الأولية.

مبرهنة إقليدس 

إذا كان (أ،ب) عددان صحيحان، وكان (ج) عدداً ثالثاً؛ حيث إنّ (ج) أوليّ،
وكان حاصل ضرب العددين (أ × ب) يقبل القسمة على ج،
فإنّ (أ) أو (ب) يقبلان القسمة على العدد (ج).

ملاحظة

جميع الأعداد الأولية ما عدا (5 ,2) تنتهي بأحد الأعداد (9, 7, 3, 1)؛
لأنّ الأعداد التي تنتهي بـ (8, 6, 4, 2, 0) هي من مضاعفات العدد
اثنين فهي بذلك غير أوليّة، والأعداد التي تنتهي بـ (5, 0) من مضاعفات
العدد خمسة، وهي ليست أوليّ.

ما هي الأعداد الأولية
أو المركب

قدمنا ما هي الأعداد الأولية والآن نتعرف على العدد غير الأولي والذي يُعرف باسم و المؤلف
Composite Number، وهو عدد صحيح موجب له قواسم بديهية يمكن التعبير عنه بضرب عددين صحيحين
أصغر منه. وكل عدد هو غير أولي إذا قبل القسمة على عدد واحد -مخالف له- على الأقل، ومن ثم فكل
عدد صحيح أكبر من الواحد إما أولي أو مركب، في حين أن كلاً من الصفر والواحد يعتبران لا أوليين ولا مركبيين.

اقرأ أيضا  بالأمثلة والخطوات.. تعرف على الأعداد الأولية وطرق تحديدها

يمكن صياغة العدد غير الأولي في صورة حاصل ضرب عددين أو أكثر، حيث يوجد طريقتان لكتابته:
إما (أXب) أو (أ أس3 X ب تربيع X ج).

مثال 1:
العدد (14) هو عدد مركب؛ لأنه حاصل ضرب عددين صحيحين أصغر منه 
( 2X7 = 14 )

مثال 2:
العدد (21) عدد مركب؛ لأنه مكون من 3 و 7 باعتبارهما قواسم غير بديهية للعدد 21.

وفيما يلي نعرض أهم الأعداد غير الأولية: 

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 100, 102, 104, 105, 106, 108, 110, 111, 112, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 128, 129, 130, 132, 133, 134, 135, 136, 138, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 150.

طريقة تحديد أولية العدد

تعرفنا على ما هي الأعداد الأولية وهناك أكثر من طريقة لتحديدها، ولكن الطريق الأكثر سهولة هي طريقة القسمة المتكررة، والتي تتمثل في قسمة العدد على الأعداد المحصورة بين 2، والجذر التربيعي لعدد معين، فمثلا:

  • الأعداد الأولية؛ هي الأعداد التي لها قاسمان فقط، ونعرض مثال مبيط على ذلك:
    3= 3×1
    2= 2×1
    5= 5×1
  • الأعداد غير الأولية؛ لها أكثر من قاسمين.
    4= 2×2
    4= 4×1

وهناك طريقة أخرى لتعيين هوية العدد: 

  • الأعداد التي لها قاسمان فقط لا غير هي الأولية ومثال على ذلك رقم (3)
    3/ 1 = 3
    3/ 3 = 1
  • على العكس من ذلك نجد العدد (4) له أكثر من قاسمين؛ وبالتالي فهو عدد مركب، ليس أولي،
    ومثال على ذلك بوضع الرقم 4 في قسمة مطولة نجد أن له أكثر من قاسمان:
    4/ 1= 4
    4/ 2= 2
    4/ 4 = 1

مواضيع قد تعجبك